Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando um valor constante ao anterior. Na sequência 3, 7, 11, 15, 19, esse valor constante — chamado razão — é 4.
O termo geral é aₙ = a₁ + (n − 1) × r e a soma dos n primeiros termos é Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2. Com essas duas fórmulas você resolve praticamente qualquer problema de PA. Este guia mostra como aplicá-las, com exemplos resolvidos e as aplicações práticas.
Identificando uma PA
Para verificar se uma sequência é PA, subtraia cada termo do seguinte. Se a diferença for sempre a mesma, é PA, e essa diferença é a razão r.
- r > 0 → PA crescente. Exemplo: 2, 5, 8, 11 (r = 3)
- r < 0 → PA decrescente. Exemplo: 20, 17, 14, 11 (r = −3)
- r = 0 → PA constante. Exemplo: 7, 7, 7, 7
Fórmula do termo geral
aₙ = a₁ + (n − 1) × r
O detalhe que gera mais erro é o (n − 1). A razão é somada uma vez a menos do que a posição, porque o primeiro termo já existe sem nenhuma soma.
Exemplo: qual o 30º termo da PA 5, 9, 13, 17...?
Aqui a₁ = 5 e r = 4. Então a₃₀ = 5 + 29 × 4 = 5 + 116 = 121.
Descobrindo a posição de um termo
Reorganizando a fórmula: n = [(aₙ − a₁) ÷ r] + 1.
Em que posição o número 97 aparece na PA 5, 9, 13...? n = [(97 − 5) ÷ 4] + 1 = 23 + 1 = 24ª posição.
Se o resultado não der número inteiro, o valor testado não pertence à progressão.
Soma dos termos
Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2
A lógica é elegante: some o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante. Todos esses pares dão o mesmo resultado, e há n/2 pares.
A história atribui essa descoberta a Gauss ainda criança. Pedido a somar os números de 1 a 100, ele percebeu que 1+100, 2+99 e 3+98 dão sempre 101, e que existem 50 desses pares. Resultado: 50 × 101 = 5.050, obtido em segundos.
Quando você não conhece o último termo, use a versão expandida: Sₙ = n × [2a₁ + (n−1)r] ÷ 2.
Exemplo completo
Uma pessoa começa a poupar R$ 200,00 no primeiro mês e aumenta R$ 50,00 a cada mês. Quanto terá poupado em 12 meses?
- a₁ = 200, r = 50, n = 12
- Último aporte: a₁₂ = 200 + 11 × 50 = R$ 750,00
- Total: S₁₂ = (200 + 750) × 12 ÷ 2 = 950 × 6 = R$ 5.700,00
Propriedades úteis
- Termo médio: cada termo é a média aritmética dos vizinhos. Em 4, 9, 14, o 9 é (4+14)÷2.
- Soma dos extremos: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁, e assim por diante.
- Três termos consecutivos podem ser escritos como (x−r), x, (x+r), o que simplifica muito a resolução de sistemas.
Aplicações práticas
Amortização constante (Sistema SAC)
No sistema SAC de financiamento, a amortização é fixa e os juros diminuem linearmente. Isso faz a parcela decrescer em PA — a diferença entre uma parcela e a seguinte é sempre a mesma.
Depreciação linear
Um bem de R$ 50.000,00 depreciado em 10 anos perde R$ 5.000,00 por ano. O valor contábil ao longo do tempo forma uma PA decrescente.
Planos de aporte crescente
Estratégias de poupança que aumentam o valor em quantia fixa a cada período seguem PA, como no exemplo acima.
Numeração e contagem
Poltronas ímpares de um teatro, casas de um lado da rua, degraus de uma escada — tudo isso é PA.
Progressão de carreira
Planos de cargos e salários com reajuste de valor fixo por nível formam uma PA salarial.
Diferença para a progressão geométrica
Na PA você soma a razão; na PG você multiplica. A consequência é enorme no longo prazo:
- PA com a₁ = 100 e r = 100: 100, 200, 300, 400... o 10º termo é 1.000.
- PG com a₁ = 100 e q = 2: 100, 200, 400, 800... o 10º termo é 51.200.
É a mesma diferença entre juros simples (crescimento em PA) e juros compostos (crescimento em PG).
Erros comuns
- Usar n em vez de (n−1) no termo geral. O erro mais frequente.
- Errar o sinal da razão em PA decrescente.
- Esquecer de dividir por 2 na fórmula da soma.
- Confundir aₙ com Sₙ — um é o valor do termo, o outro é o acumulado.
- Aplicar fórmula de PA em sequência que é PG. Verifique se a relação é de soma ou de multiplicação.
Calculando online
A calculadora de progressão aritmética do CalculatorWithAI resolve termo geral e soma a partir dos dados que você tiver, sem cadastro.
Para comparar o comportamento das duas progressões no mesmo cenário, vale rodar a calculadora de progressão geométrica em paralelo. Em aplicações financeiras, a calculadora de amortização mostra a PA das parcelas no sistema SAC. Todas estão na seção de álgebra das calculadoras online por categoria.
Perguntas frequentes
Qual a fórmula do termo geral da PA?
aₙ = a₁ + (n − 1) × r. A razão é somada (n−1) vezes, não n vezes.
Como somar os termos de uma PA?
Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2 — a média entre o primeiro e o último termo, multiplicada pela quantidade.
Qual a diferença entre PA e PG?
Na PA cada termo é obtido somando a razão; na PG, multiplicando pela razão. A PA cresce linearmente e a PG, exponencialmente.
Resumo
Progressão aritmética é uma sequência com diferença constante entre termos consecutivos. O termo geral é aₙ = a₁ + (n−1)r — atenção ao (n−1) — e a soma é Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2, o truque de Gauss. Ela modela depreciação linear, parcelas do sistema SAC e planos de aporte crescente. Sempre verifique se a sequência realmente é PA antes de aplicar as fórmulas: se os termos se multiplicam em vez de somar, o caso é de PG. Uma calculadora de PA online confere os resultados rapidamente.
