Progressão Geométrica: Termo Geral e Soma Infinita

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por um valor constante, chamado razão. Na sequência 2, 6, 18, 54, a razão é 3.

O termo geral é aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹ e a soma dos n primeiros termos é Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1). A PG é o modelo matemático por trás de juros compostos, crescimento populacional e propagação viral — tudo o que cresce por multiplicação em vez de soma.

Identificando uma PG

Divida cada termo pelo anterior. Se o quociente for sempre o mesmo, é PG, e esse quociente é a razão q.

• q > 1 → crescente. Exemplo: 3, 6, 12, 24 (q = 2)
• 0 < q < 1 → decrescente. Exemplo: 100, 50, 25, 12,5 (q = 0,5)
• q < 0 → alternante, com sinais trocando. Exemplo: 2, −6, 18, −54 (q = −3)
• q = 1 → constante

Fórmula do termo geral

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

Assim como na PA, o expoente é n − 1, porque o primeiro termo não sofre multiplicação alguma.

Exemplo: qual o 10º termo da PG 5, 15, 45...?

a₁ = 5 e q = 3. Então a₁₀ = 5 × 3⁹ = 5 × 19.683 = 98.415.

Repare na velocidade: o décimo termo já passa de noventa mil, partindo de 5. É esse comportamento que torna o crescimento exponencial tão contraintuitivo.

Soma dos termos

Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1), para q ≠ 1

Somando os 8 primeiros termos da PG 2, 6, 18...: S₈ = 2 × (3⁸ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × 6.560 ÷ 2 = 6.560.

A soma infinita

Este é o resultado mais interessante da PG. Quando |q| < 1, os termos ficam cada vez menores e a soma de infinitos termos converge para um valor finito:

S∞ = a₁ ÷ (1 − q)

Na PG 1, 0,5, 0,25, 0,125..., a soma infinita é 1 ÷ (1 − 0,5) = 2. Você pode somar termos para sempre e nunca ultrapassará 2.

É o que resolve o paradoxo de Zenão: para percorrer um caminho você precisa primeiro percorrer metade, depois metade do que resta, e assim por diante — infinitas etapas. Mas a soma delas é finita, e por isso o movimento acontece.

A mesma fórmula converte dízimas periódicas em fração. A dízima 0,333... é a PG de a₁ = 0,3 e q = 0,1, cuja soma é 0,3 ÷ 0,9 = 1/3.

A lenda do tabuleiro de xadrez

O exemplo clássico do poder da PG. Um inventor pediu ao rei um grão de trigo na primeira casa do tabuleiro, dois na segunda, quatro na terceira, dobrando até a 64ª.

O pedido parecia modesto. O total é 2⁶⁴ − 1 ≈ 18,4 quintilhões de grãos — mais trigo do que a humanidade produziu em toda a sua história. A PG é a razão pela qual intuições lineares falham tão espetacularmente diante de crescimento multiplicativo.

Aplicações práticas

Juros compostos

O saldo de um investimento a juros compostos é exatamente uma PG de razão (1 + i). É a mesma fórmula em outra roupa: M = C × (1+i)t e aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹ descrevem o mesmo fenômeno.

Depreciação por percentual

Um carro que perde 15% do valor ao ano forma uma PG de razão 0,85. Um veículo de R$ 60.000,00 vale R$ 60.000 × 0,85⁵ = R$ 26.617,00 após cinco anos.

Crescimento populacional e viral

Taxas de crescimento percentual constante produzem PG. O número de reprodução de uma epidemia funciona como razão: com q = 2, cada ciclo dobra os casos.

Correção monetária e inflação

Inflação acumulada é o produto dos fatores, não a soma dos percentuais. Três anos a 5% acumulam 1,05³ = 15,76%, não 15%.

Música

As frequências das notas musicais formam uma PG. Cada oitava dobra a frequência, e os doze semitons do sistema temperado usam razão igual à raiz duodécima de 2.

Erros comuns

• Usar expoente n em vez de (n−1) no termo geral.
• Aplicar a fórmula da soma infinita com |q| ≥ 1. Nesse caso a série diverge e não há soma finita.
• Confundir razão com diferença — na PG se divide para achar q, na PA se subtrai para achar r.
• Somar percentuais de crescimento em vez de multiplicar os fatores.
• Subestimar o crescimento por intuição linear.

Calculando online

Potências com expoentes altos estouram calculadoras simples. A calculadora de progressão geométrica do CalculatorWithAI resolve termo geral e soma direto no navegador.

Para comparar crescimento linear e exponencial no mesmo cenário, vale rodar a calculadora de progressão aritmética em paralelo. Como a PG é a base matemática dos juros compostos, a calculadora de juros compostos aplica o mesmo conceito ao contexto financeiro, e a calculadora de logaritmos resolve os casos em que a incógnita é o número de termos. Todas estão nas calculadoras online por categoria.

Perguntas frequentes

Qual a fórmula do termo geral da PG?

aₙ = a₁ × q elevado a (n−1).

Quando a soma infinita de uma PG existe?

Quando o módulo da razão é menor que 1. Nesse caso, S∞ = a₁ ÷ (1 − q).

Como transformar dízima periódica em fração?

Escreva a dízima como soma de PG infinita e aplique S∞ = a₁ ÷ (1 − q). Para 0,333..., o resultado é 1/3.

Resumo

Progressão geométrica multiplica cada termo pela razão, produzindo crescimento exponencial. O termo geral é aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹ e a soma finita é Sₙ = a₁ × (qⁿ−1) ÷ (q−1). Quando |q| < 1, existe soma infinita finita, que resolve dízimas periódicas e o paradoxo de Zenão. A PG modela juros compostos, depreciação percentual e crescimento populacional — e o exemplo do tabuleiro de xadrez mostra como a intuição linear subestima esse tipo de crescimento. Uma calculadora de PG online lida com expoentes que estouram calculadoras comuns.